RSA تطبيقات الرياضيات في الحياة العملية : التشفير باستعمال خوارزمية

لعل اغلب من دروسو الرياضيات تسائلون لماذا تدرس هذه المادة في جميع المستويات بالرغم من أن استعمالاتها لا تتعدى القسم، وإن غادرته فهي تتوقف بجانب أقرب دكان ( عمليات الجمع و الطرح). في هذه المقال سأوضح احدى استعمالات الرياضيات ( الحسابيات ) في الحياة العملية. سأتطرق الى تقديم علم التشفير، ثم الى تقديم كيفية خواوزمية RSA. 

ماهو التشفير Cryptographie 

عُرف علم التشفير أو التعمية منذ القدم، حيث استخدم في المجال الحربي والعسكري. فقد ذكر أن أول من قام بعملية التشفير للتراسل بين قطاعات الجيش هم الفراعنة. وكذلك ذكر أن العرب لهم محاولات قديمة في مجال التشفير. و استخدم الصينيون طرق عديدة في علم التشفير والتعمية لنقل الرسائل أثناء الحروب. فقد كان قصدهم من استخدام التشفير هو إخفاء الشكل الحقيقي للرسائل حتى لو سقطت في يد العدو فإنه تصعب عليه فهمها.

أما علم التشفير الحديث يستخدم الرياضيات( خوارزميات, الغورتمات معقدة,... ) للتشفير وفك تشفير البيانات. التشفير يُمكّنُك من تخزين المعلومات الحساسة أو نقلها عبر الشبكات غير الآمنة- مثل الإنترنت- وعليه لا يمكن قراءتها من قبل أي شخص ما عدا الشخص المرسل لـه. وحيث أن التشفير (Cryptographie) هو العلم المستخدم لحفظ أمن وسرية المعلومات، فإن تحليل وفك التشفير (Cryptanalysis) هو علم لكسر و خرق الاتصالات الآمنة نهدف من خلال التشفير الى:

1. السرية أو الخصوصية ( Confidentiality ) : هي خدمة تستخدم لحفظ محتوى المعلومات من جميع الأشخاص ما عدا الذي قد صرح لهم الإطلاع عليها.
2.تكامل البيانات (Integrity ) : وهي خدمة تستخدم لحفظ المعلومات من التغيير ( حذف أو إضافة أو تعديل ) من قبل الأشخاص الغير مصرح لهم بذلك.
3.إثبات الهوية ( Authentication ) : وهي خدمة تستخدم لإثبات هوية التعامل مع البيانات ( المصرح لهم ).
4.عدم الجحود ( Non-repudiation ) : وهي خدمة تستخدم لمنع الشخص من إنكاره القيام بعمل ما.

ويوجد نوعين من التشفير : التشفير بالمفتاح المثماثل و التشفير بالمفتاح اللامثماثل. 

1. التشفير بالمفتاح المثماثل Chiffrement symétrique : أي يثم التشفير و فك التشفير بمفتاح واحد .

2. التشفير اللامثامثل chiffrement Asymétrique : ومن خلاله التشفير و فك التشفير يتم بمفتاحين مختلفين. التشفير يثم بمفتاح التشفير العمومي Public key و فك التشفير يتم ب مفتاح التشفير الخصوصي Secret Key . 

 التشفير باستعمال خوارزمية RSA.

خوارزمية RSA تشتغل بمبدأ التشفير اللامثامثل أي يوجد مفتاح للتشفير ومفتاح اخر لفك التشفير. واخترعها الثلاثي : ليونارد ادليمان - أدي شامير - رونالد ريفست سنة 1977. وهذه الخوارزمية لها عدة استعمالات في الحياة العملية وخصوصا في التجارة الإلكترونية.

- مبدأ عمل هذه الخوارزمية :

تعتمد هذه الخوارزمية على الخاصيتين التاليتين :

1)  p و q عددين أوليين مختلفان و n=pq و e عدد صحيح طبيعي بحيث : $ \scriptsize 2 \prec e \prec (q-1)(p-1) $ و e اولي مع $ \scriptsize (q-1)(p-1)$، فإنه يوجد عدد صحيح طبيعي وحيد d، حيث $\scriptsize 1 \prec d \prec (q-1)(p-1)$ و يحقق $ \scriptsize ed\equiv 1 [(q-1)(p-1)]$.

2)  $ \scriptsize\forall (a,b) \in \mathbb{N} , \quad b \equiv a^d [n] \Rightarrow a \equiv b^e [n]$

- كيف تشتغل هذه الخوارزمية ؟

لفهم مبدأ اشتغال هذه الخوارزمية نفترض وجود شخصين معاذ و علي يريدان التواصل بسرية واتفقا على استخدام خوارزمية RSA. فأراد علي ارسال الرسالة "SALAM" لمعاذ. 

1. يجب على معاذ (المرسل إليه ) انشاء مفتاح التشفير العمومي وذلك باختيار عددين أوليين p و q ثم يختار العدد e ( الخاصية الأولى ). للتوضيح نأخد p=13 و q=11 و e=3. ثم يرسل معاذ مفتاح التشفير العمومي ل علي وهو : (RSA,143,7) حيث 143=pq و e=7 .
2. يتوصل علي بمفتاح التشفير العمومي ويشرع في تحويل الرسالة "SALAM" الى أرقام و هنا يعتمد الجدول التالي : 

  حيث يعوض كل حرف بالرقم المقابل له فتصبح الرسالة "SALAM" على الشكل التالي : 

13 - 1 - 12 - 1 - 19

ثم يقوم بحساب باقي قسمة الأعداد $\scriptsize 19^e$ و $\scriptsize 12^e$ و $\scriptsize 13^e$  و$\scriptsize 1^e$على n=pq. فيجد:

 $\scriptsize 19^7 \equiv 46 [143]$ و $ \scriptsize1^7 \equiv 1 [143]$ و $\scriptsize 12^7 \equiv 12 [143]$ و $\scriptsize 13^7 \equiv 117 [143]$.

قتصبح الرسالة بعد التشفير على الشكل التالي : 

117 - 1 - 12 - 1 - 46   

فيقوم بارسالها ل معاذ.

3.  وأخيرا مرحلة فك التشفير من طرف معاذ :
 لهذا يجب على معاذ حل المعادلة $ \scriptsize ed \equiv 1 [120]$ وذللك للحصول على العدد d ) d أصغر عدد موجب يحقق المعادلة ). بعد الحصول على العدد d، في هذا المثال نجد d=103. 
ثم يقوم بحساب باقي القسمة الأقليدية ل $\scriptsize 46^d$ و $\scriptsize 1^d$ و $\scriptsize 12^d$ و $\scriptsize 117^d$ ، على n=143 أي : 
القسمة الأقليدية ل 

$\scriptsize 46^{103}$ و $\scriptsize 1^{103}$ و $\scriptsize 12^{103}$ و $\scriptsize 117^{103}$

على 143 فنجد :

$\scriptsize 117^{103} \equiv  13 [143]$ و $\scriptsize 46^{103} \equiv  19 [143]$ و $\scriptsize 1^{103} \equiv  1 [143]$ و $\scriptsize 12^{103} \equiv  12 [143]$

فتصبح الرسالة بعد التشفير على الشكل التالي :

13 - 1 - 12 - 1 - 19

ثم نقول بتحويل هذه الأرقام انطلاقا من الجدول أعلاه الى الحروف المقابلة لها فنجد الكلمة :

SALAM

وهي نفس الكلمة التي أرسلها علي.

ببساطة هذا هو مبدأ اشتغال خوارزمية RSA. في نهاية هذا المقال أود أن أوجه رسالة الى مدرسي الرياضيات في جميع المستويات الى ادراج بعض تطبيقات المفاهيم التي تدرس في الحياة الواقعية. لأجل إعطاء معنى لتعلمات التلاميذ وضحظ الفكرة التي ترسخت في أذهان التلاميذ التي مفادها أن دروس الرياضيات صعبة و مملة ولا فائدة منها. 

    

: شارك

Tweet

✚

مواضيع ذات صلة